IPアドレスをクライアントに付与する際、既存のIPアドレスに対してICMPなどで確認して空いているIPアドレスを付与するのでしょうか。

払い出し前にICMPにてチェックを行います(設定により変更可能です)。
重複IPのアドレス払出し発生を防止するためには、各クライアントでICMPに対して応答を返す設定にする事を推奨します。